Асимптотические разложения для модифицированного интегрального преобразования с функцией Уиттекера в ядре

Abstract

Получены в явном виде асимптотические разложения в нуле и в бесконечности для модифицированного случая обобщенного интегрального преобразования, включающего в качестве ядра функцию Уиттекера. К решению этой задачи адаптирован метод Хандельсмана – Лью, основанный на применении равенства Парсеваля для обратного преобразования Меллина. Предполагается, что функция (оригинал), на которую действует интегральное преобразование, имеет асимптотическое представление в виде ряда Меллина соответствующего типа. Приведены результаты для случаев, когда полюсы преобразования Меллина ядра просты и различны, а также отличны от полюсов преобразования Меллина оригинала. Установлено, что тогда преобразование имеет степенные асимптотические разложения. Для частных случаев совпадения этих полюсов указаны изменения, которые возникают в асимптотических формулах, и рассмотрен иллюстрирующий пример, позволяющий сделать вывод о том, что получаемые здесь асимптотические разложения имеют степенно-логарифмическую форму. = We obtain explicit asymptotic expansions at zero and infinity for the modified case of generalized integral transformation, including as a kernel function of Whittaker. To solve this problem we adapted Handelsman – Lew’s method, based on the application of the Parseval equality for the inverse Mellin transform. It is supposed that the function (the original), on which the integral transformation acts, has an asymptotic representation in the form of Mellin series of the appropriate type. The results are given in cases where the poles of the Mellin transform of the kernel are simple and distinct, and are distinct from the poles of the Mellin transform of the original. For these cases it is found that this transformation has asymptotic power expansion. For individual cases of coincidence of these poles we show changes that occur in the asymptotic formulas, and an illustrative example is considered, which leads to the conclusion that in such cases the asymptotic expansions are obtained in power-logarithmic form.