Об единственности предельного цикла для обобщенной системы Ван дер Поля

Abstract

Исследованы предельные циклы обобщенной системы Ван дер Поля, рождающиеся при возмущении консервативной системы. На основе подхода Л. А. Черкаса к признаку Дюлака для оценки числа и локализации предельных циклов в фазовой плоскости автономных систем второго порядка предлагается способ построения функции Дюлака – Черкаса в виде полинома относительно фазовой переменной y степени p, коэффициенты которого гладко зависят от второй фазовой переменной x и не-прерывно зависят от параметра µ. Построение функции Дюлака – Черкаса сводится к доказательству знакоопределенности соответствующего вспомогательного полинома специального вида. Доказано существование не более одного предельного цикла во всей фазовой плоскости при всех действительных значениях параметра у рассмотренной системы. С помощью метода Пуанкаре получены примеры исследуемых систем с единственным предельным циклом. Результаты исследования могут быть применены в качественной теории и теории бифуркации обыкновенных дифференциальных уравнений, а также в теории нелинейных колебаний. = The subject of investigation is the limit cycles of generalized Van der Pol system bifurcating from closed trajectories of the conservative system. A research objective is to verify the existence of the limit cycle by applying a Dulac – Cherkas function. On the basis of L. A. Cherkas approach to Dulac method for the estimation of limit cycles number and their localization for autonomous second order systems the method of construction of Dulac – Cherkas function in the form of a polynomial of the phase variable y degree p which coefficients smoothly depend on the second phase variable x and continuously depend on the parameter µ is presented. The construction of Dulac – Cherkas function is reduced to the proof that the corresponding auxiliary polynomial of special form has a fixed sign. Thus it is proved the existence at most one limit cycle in the entire phase plane for all real values of parameter for considered system. Then, using the Poincare method examples of such systems with a unique limit cycle are obtained. The derived results can be applied in the qualitative theory and theory of bifurcations of ordinary differential equations as well as in the theory of nonlinear oscillations.