Разработка и исследование вероятностно-статистических методов анализа временных рядов и их применение в приложениях : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель Н. Н. Труш

Abstract

Объектом исследования являются одномерные и многомерные стационарные в широком смысле и внутренне стационарные случайные процессы, устойчивые случайные процессы, процессы Леви и случайные распределения, которым подчиняются приращения процессов Леви, m - зависимые двумерные случайные поля. Цель работы состоит в построении нового математического аппарата для исследования, анализа и прогнозирования случайных процессов и полей, его применения для решения практических задач. Задачами исследования являются: 1) Теоретическое обоснование новых методов и алгоритмов построения оптимальных оценок непараметрических характеристик случайных процессов и полей. 2) Теоретическое обоснование методов и алгоритмов построения новых параметрических моделей случайных процессов и полей, более точно описывающих реальные временные ряды, чем уже известные модели. 3) Теоретическое обоснование алгоритмов прогнозирования временных рядов. Основные результаты работы: Реализованы алгоритмы моделирования процессов Леви. Алгоритмы исследованы с точки зрения минимальной погрешности оценок моментов моделируемых процессов. Предложен новый алгоритм моделирования обобщенных гиперболических процессов Леви. Сделан анализ погрешностей оценок моментов моделируемых этим алгоритмом процессов. Предложено два способа моделирования процесса CGMY, который является медленно растущим процессом Леви. Найдено предельное распределение оценки семивариограммы гауссовского стационарного случайного процесса с дискретным временем, построена интервальная оценка семивариограммы. Найдено предельное распределение оценки семивариограммы стационарного в узком смысле m - зависимого двумерного случайного поля с дискретным временем. Осуществлен стохастический анализ стационарных в широком смысле и внутренне стационарных случайных процессов на основе семивариограммы. Исследованы основные статистические свойства оценки спектральной плотности стационарного случайного процесса, модулируемого известным дискретным случайным процессом. Построена оценка спектральной плотности с помощью вейвлет-преобразования. Исследована скорость сходимости математического ожидания вейвлетной оценки спектральной плотности, построенной с помощью МНАТ – вейвлета. Исследованы особенности модели GARCH, условия стационарности для модели GARCH(p,q), М-оценка параметров модели GARCH(1,1) и её асимптотические свойства: состоятельность и асимптотическая нормальность. Исследованы GARCH(1,1) модели с распределениями CTS, MTS, KR. Сделан сравнительный анализ оценок моментов данных распределений, а также оценок параметров GARCH(1,1) с данными распределениями. Исследованы свойства сетевого трафика и осуществлено построение математической модели для него на основе устойчивых процессов. Практическая ценность исследований состоит в том, что полученные теоретические результаты можно применить для обработки и анализа реальных данных, возникающих в экономических, финансовых, технических и других системах, что позволит более точно исследовать работу таких систем и прогнозировать их поведение.