Методы исследования дифференциальных уравнений дробного порядка и их приложения : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ; научный руководитель С. В. Рогозин

Abstract

Объектами исследования являются специальные функции типа Миттаг-Леффлера и их обобщения, дифференциальные операторы дробного порядка, дифференциальные уравнения дробного порядка, системы с дробными производными, краевые задачи теории аналитических функций, модели механики сплошной среды и математической физики. Целями темы является разработка новых аналитических, асимптотических и прибли- женных методов исследования задач для новых классов линейных и нелинейных диффе- ренциальных уравнений с обыкновенными и частными дробными производными, постро- ение новых и уточнение существующих моделей естествознания, в частности, моделей теории композиционных материалов, теории фильтрации, теории упругости, биомехани- ки, а также моделей аномальной диффузии. При работе над проектом получен ряд новых результатов как теоретического, так и прикладного характера. А именно: - Дано полное и замкнутое описание основных свойств функции Миттаг-Леффлера, ее обобщений и приложений. - Предложен новый метод продолжения много-параметрической функции Миттаг- Леффлера на более широкую область значений параметров. - Разработаны новые аналитические и асимптотические методы анализа задач для новых классов дифференциальных уравнений с частными дробными производными. - Установлены условия существования и единственности решений задач для новых классов дифференциальных уравнений с обыкновенными и частными дробными произ- водными. - Дано решение уравнения Эйлера с конечным числом дробных производных. - Построены решения в замкнутой форме отдельных типов дифференциальных урав- нений дробного порядка в терминах специальных функций Миттаг-Леффлера и Райта. - Установлены критерии устойчивости дифференциальных систем дробного порядка. - Получено явное представление и исследованы свойства дробного аналога оператора Лапласа для функции двух переменных. - Исследованы свойства интегрального оператора дробного порядка, ассоциированно- го с обобщенной много параметрической функцией Миттаг-Леффлера. - Дан обзор результатов по безгранично делимым случайным процессам, связанным с дробным исчислением. - Построено аналитическое решение дробно-линейной задачи Римана. - Получено аналитическое решение двумерных краевых задач со свободной границей. - Предложен метод исследования краевых задач в пространствах с модулями непре- рывности. - Получено решение векторно-матричной задачи, возникающей при моделировании эффективных характеристик двумерных композиционных материалов. 3 - Найдена точная формула для представления эффективной проводимости симмет- ричного двумерного композиционного материала. - Разработан асимптотический метод факторизации матриц-функций. - Получено разложение в ряды решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа в плоской области с малыми отверстиями. - На основе приближенных представлений функции Грина для смешанных краевых задач в многосвязных областях предложен асимптотический метод исследования задачи Хеле-Шоу. - Исследованы эффективные свойства нелинейных композиционных материалов. - Вычислены эффективные характеристики кольцеобразного композиционного мате- риала. - Предложена дробная модель для описания вязко-упругого поведения периодонта. - Разработан асимптотический метод исследования модели, описывающей динамику суставного хряща. - Дан обзор и построены новые модели в задачах реологии. - Построены новые модели механики сплошной среды и математической физики. Да- ны приложения полученных результатов к изучению моделей течения жидкостей, про- водимости композиционных материалов, вязко-упругих биологических материалов.