Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шрёдингера на основе методов цифровой обработки сигналов

Abstract

Оптимизация компактных разностных схем спектрального разрешения для нестационарного уравнения Шрёдингера на основе методов цифровой обработки сигналов. Определены оптимальные значения параметров конечно-разностных схем для нестационарного уравнения Шрёдингера, обеспечивающие минимизацию фазовой погрешности приближенного решения в заданном спектральном диапазоне. Для решения задачи оптимизации использовано эквивалентное представление разностной схемы в виде однопараметрического семейства рекурсивных цифровых фильтров. Установлена зависимость оптимального параметра от ширины спектрального диапазона и стремление его к значению, отвечающему схеме четвертого порядка точности, когда ширина диапазона спектральной согласованности стремится к нулю. Показано, что соотношение пространственных и временных шагов, определяемое оптимизированной схемой цифровой фильтрации, является оптимальным для схемы с весами. Получены оценки погрешности передаточной функции оптимизированной дискретной модели, которые обеспечивают достаточно точное предсказание относительной локальной погрешности в заданном спектральном диапазоне. Эффективность оптимизированной схемы продемонстрирована на основе анализа спектрального разрешения дискретных моделей. В частности, показано, что предложенная оптимизация обеспечивает приблизительно четырех кратное уменьшение погрешности схемы четвертого порядка точности для нестационарного уравнения Шрёдингера. = Optimal parameters values minimizing the phase error of finite-difference schemes for non-stationary Schrodinger equation in the pre-defined spectral range are found. The obtained results are based on an equivalent representation of the -method in the form of family of one-parametric IIR-filters. Dependence of the optimal parameter value on the spectral resolution bandwidth is discovered and it is shown that the optimized discrete model is converged to the fourth order -method as the spectral resolution range tents to zero. It is shown also that the ratio of the spatial and temporal step sizes given by the optimized digital filtering scheme is optimal for the finite difference -method. The transfer function error estimates for the optimized discrete model are obtained. The obtained estimates provide with ability to evaluate the relative local error in the pre-defined spectral range. Efficiency of the optimized scheme is demonstrated by means of analysis of the spectral resolution of the considered discrete models. In particular, it is shown that the proposed optimization provides about fourfold improvement of the accuracy of the 4th order -method for non-stationary Schrodinger equation.