Анализ свойств категорий дифференциальных и алгебраических систем : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ; научные руководители С.А. Мазаник, А.А. Леваков

Abstract

Объектом исследования являются разделение секретов в полиномиальных кольцах, исследование структурных свойств специального класса колец, стохастические, дифферен- циальные и дифференциально-алгебраические системы и их асимптотические характеристи- ки. Цель работы – построение оптимальных схем разделения секрета в полиномиальных кольцах, построение новых классов m-колец и исследование свойств суперформаций, по- строение асимптотической теории стохастических, дифференциальных и дифференциально- алгебраических систем. В результате исследований: показано, что класс всех сегментно нуль- дифференцируемых m-колец является замкнутой слева формацией. Установлено, что каждое 3-коммутативное m-кольцо (где суперпозиция более чем трех элементов не изменяется при четной перестановке сомножителей) является расширением 3-коммутативного ниль-m- кольца при помощи коммутативного m-кольца, являющегося прямой суммой идеалов, один из которых идемпотентен и умножение у него совпадает с суперпозицией, а второе имеет нулевое умножение, а его о-почтикольцо является редуцированным кольцом. Установлено, что Е-центральное Е-периодическое m-кольцо либо является ниль-m-кольцом, либо является подпрямым произведением некоторого семейства Е-примарных периодических m-колец. Показано, что любая структура доступа имеет модулярную реализацию в кольце по- линомов от нескольких переменных над любым конечным полем. Построены системы рав- ноостаточных идеалов в нетеровых кольцах. С их помощью доказано существование совер- шенных схем разделения доступа над нетеровыми кольцами. Получено условие равнооста- точности идеалов в полиномиальных кольцах. Построены идеальные схемы разделения сек- рета в нетеровых кольцах. Построена идеальная пороговая схема разделения секрета с ис- пользованием метода базисов Гребнера в полиномиальных кольцах. Доказаны теоремы существования мартингальных решений абстрактных стохастиче- ских дифференциально-функциональных параболического и гиперболического типов с из- меримыми локально ограниченными коэффициентами. Доказаны теоремы существования решений стохастических дифференциальных уравнений со стандартным и дробным бро- уновскими движениями с разрывными правыми частями. Доказаны теоремы об устойчиво- сти, асимптотической устойчивости, теорема об устойчивости по линейному приближения для стохастических дифференциальных уравнений с запаздыванием с измеримыми коэффи- циентами. Доказаны теоремы о существовании аттракторов L-систем полудинамических систем в нелокально компактных метрических пространствах, охватывающих дифференци- ально-функциональные включения и дифференциальные уравнения в частных производных параболического типа. Найдены достаточные условия, обеспечивающие устойчивость и асимптотическую устойчивость L-систем. Проведена полная классификация классов четырехмерных однородных псевдорима- новых пространств произвольной сигнатуры и построены все решения уравнения Эйнштейна на этих пространствах. 4 Произведена полная классификация нильпотентных аппроксимаций сингулярных векторных распределений в малых размерностях и исследована управляемость аффинных по управлению динамических систем в целом. Предложен метод приближенного оценивания вероятностей ошибочных решений по- следовательного критерия отношения вероятностей проверки двух простых параметрических гипотез. Исследовано влияние функциональных искажений, заданных в - и C-метриках, на вероятностные характеристики указанного последовательного критерия. В отличие от классического понятия экономического равновесия введено понятие по- луравновесия и на примерах линейных моделей теории фирмы приведены алгоритмы фор- мирования полуравновесных и равновесных цен для рынка нескольких товаров. Построен алгоритм определения оперативного решения для линейной модели задачи производственно- го потребления. Исследованы свойства множеств неприводимости линейных систем как функций параметров, которые характеризуют ограниченность коэффициентов системы и степень малости ее экспоненциальных линейных возмущений. Описано распределение мно- жеств неприводимости на множестве всех линейных систем с ограниченными коэффициен- тами. С помощью динамических регуляторов получен критерий приведения линейных ста- ционарных систем с запаздыванием по состоянию к системам с конечным спектром. Для стационарных систем управления получены условия приводимости к регулярным системам с помощью линейной обратной связи по выходу. Получены достаточные условия регуляризи- руемости обратной связью линейных по выходу общих стационарных систем управления. Получены необходимые и достаточные условия управляемости на подпространство диффе- ренциально-алгебраической системы со многими запаздываниями по управлению и критерии условной управляемости и управляемости из нуля для сингулярных дискретных систем с запаздыванием по состоянию.