Существование и единственность решения сингулярных интегро-дифференциальных уравнений одного типа

Abstract

Рассмотрено интегро-дифференциальное уравнение, используемое при решении контактных задач теории упругости для цилиндра и цилиндрической полости в пространстве. В отличие от литературы, посвященной решению интегральных уравнений данного типа, в настоящей работе исследуемое уравнение не было сведено к уравнению с сингулярным ядром типа котангенса. Это дало возможность, используя простейшие оценки тригонометрических функций, показать положительную определенность сингулярного ядра. Построена оценка нормы интегрального оператора в пространстве функций, интегрируемых с квадратом. Получено условие применимости принципа сжатых отображений в зависимости от абсолютной величины коэффициента, = The integro-differential equation used for solving contact problems of elasticity theory for a cylinder and a cylindrical cavity in space was discussed in article. The existing literature devoted to the solution of integral equations of this type used the standard procedure of reducing the integral equation to a specific equation with singular kernel contains cotangent function. But authors of this article refused this procedure and used kernel in more complicated but more convenient for analytical perturbation form. This made it possible using simple estimates of trigonometric functions to show a positive definition of singular kernel. The estimation of norm of integral operator in the space of square-integrable functions was made. A condition for the applicability of the contraction mapping principle was obtained it depends on the magnitude of the coefficient which was determined by the elastic properties of solids.