Разработка приближенных методов решения нелинейных операторных уравнений и исследование отображений на обобщенных пространствах с мерой : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ; научный руководитель А.Н. Таныгина

Abstract

Объектом исследования являются приближенные методы решения нелинейных операторных уравнений с регулярно гладкими операторами, функции из классов Соболева на ультраметрических пространствах с условием удвоения, а также алгебры квазипериодических функций и функций с разрывами почти периодического типа. Цель исследований — установление условий сходимости, устойчивости и априорных оценок погрешности для приближенных методов ньютоновского типа применительно к нелинейным операторным уравнениям с регулярно гладкими операторами и нелинейным операторным уравнениям с недифференцируемыми операторами, допускающими выделение регулярно гладкой составляющей, получение новых результатов относительно свойств функций из классов Соболева на ультраметрических пространствах с условием удвоения на меру, а также исследование свойств алгебр квазипериодических функций и функций с разрывами почти периодического типа. В результате исследований проведен сравнительный анализ различных условий гладкости для приближенного решения методом Ньютона–Канторовича нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. При помощи мажорант доказана сходимость и получены оценки скорости сходимости двухшагового метода Ньютона–Канторовича для приближенного решения нелинейных уравнений с операторами, удовлетворяющими модифицированному условию регулярной гладкости. Получены условия устойчивости метода Ньютона–Канторовича и проведено исследование сходимости обобщенного двухшагового метода Ньютона–Канторовича для приближенного решения нелинейных уравнений с недифференцируемыми операторами, допускающими выделение регулярно гладкой составляющей. Изучена специфика классов Соболева в контексте ультраметрических пространств с условием удвоения на меру. Исследованы точки Лебега и скорость сходимости средних Стеклова для классов Соболева на таких пространствах. Распространен на ультраметрические пространства с условием удвоения аналог теоремы Лузина об исправлении для пространств соболевского типа. Уточнено понятие квазипериодической алгебры и изучены свойства квазипериодических функций. Для случая алгебры квазипериодических функций в конечномерном пространстве, инвариантной относительно линейного отображения, изучены свойства этой алгебры. Задача о построении пространства максимальных идеалов сведена к общему случаю построения пространства максимальных идеалов для алгебры непрерывных функций на конечномерном торе. Исследована алгебра функций с разрывами почти периодического типа на отрезке.