Рациональные приближения функций с производными из пространства В. И. Смирнова

Abstract

В комплексной плоскости рассмотрим односвязную ограниченную область $G$ со спрямляемой границей Жордана $\partial G$. Пусть $E_p=E_p(G)$, $0<p\le\infty$, есть пространство В. И. Смирнова функций $f$, аналитических в $G$ и наделенных стандартной квазинормой $\Vert f\Vert _{E_p}=\Vert f\Vert _{L_p(\partial G)}$. Через $R_n(f)_p$ обозначим наилучшее приближение $f$ в $E_p$ посредством рациональных функций степени не выше $n=0,1,2,\dots$. При $p=\infty$ дополнительно предполагается, что $f$ непрерывна на $\overline G=G\cup\partial G$, и тогда $R_n(f)_\infty$ – наилучшее равномерное рациональное приближение функции $f$.

В случае $G=\{z:\vert z\vert<1\}$, т.е. когда $E_p$ суть пространство Харди, нами ранее получен следующий результат. Если $s\in\mathbb{N}$, $0<p\le\infty$, $1/\sigma=s+1/p$, $f$ аналитична в $G$ и $f^{(s)}\in E_\sigma$, то

$\displaystyle R_n(f)_p\le\frac{c}{n^s}\Vert f^{(s)}\Vert _{E_\sigma},\quad n=s,s+1,s+2,\dots, $

где $c>0$ и не зависит от $f$ и $n$.

Здесь нами получено обобщение этого результата на случай приближений $f$ в пространстве В. И. Смирнова $E_p(G)$ при следующих ограничениях на $\partial G$: 1) если $0<p<\infty$, то $\partial G$ – кривая М. А. Лаврентьева; 2) если $p=\infty$, то $\partial G$ – кривая С. Я. Альпера или Радона.