Рациональные приближения абсолютно непрерывных функций с производной из пространства Орлича

Abstract

Пусть $R_n(f)$ – наилучшее равномерное приближение $f \in C[0,1]$ рациональными дробями степени не выше $n$; $W[0,1]$ – множество монотонных, выпуклых функций $w\in W[0,1]$ таких, что $w(1)=0$ и $w(1)=1$. Доказана

ТЕОРЕМА. Пусть функция $f$ абсолютно непрерывна на отрезке $[0,1],$ $w\in W[0,1]$ и $\widehat f= f(w(x))$. Если $\vert\widehat f'\vert\ln^+\vert\widehat f'\vert$ суммируема на $[0,1],$ то $R_n(f)=o(1/n)$.

Даются различные приложения и обобщения этого результата. Рассматривается также периодический случай.