Неравенства типа Бернштейна для произвольных рациональных функций и обратные теоремы рациональной аппроксимации

Abstract

Пусть $H_p$ – пространство Харди функций $f$ аналитических в круге $\vert z\vert<1$ и $J^\alpha f$ – производная $f$ порядка $\alpha$ в смысле Вейля. Показано, например, что если $r$ – рациональная функция степени $n$ ($n\geqslant1$) с полюсами лишь в области $\vert z\vert>1$, то $\Vert J^\alpha r\Vert _{H_\sigma}\leqslant cn^\alpha\Vert r\Vert _{H_p}$, где $p\in(1,\infty]$, $\alpha>0$, $\sigma=(\alpha+p^{-1})^{-1}$ и $c>0$ зависит лишь от $\alpha$, $p$.