Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях

Abstract

Эта статья написана по материалам работ, выполненных в основном за последнее десятилетие и посвященных исследованию и решению краевых задач теории аналитических функций на конечных ориентируемых римановых поверхностях. Во введении дается краткий обзор основных работ по этой тематике, начиная с классических работ Б. Римана и до исследований современных авторов.

Основное содержание работы составляет материал, изложенный в §§ 2–6. Здесь найдены явные выражения для аналогов ядра Коши, построено общее решение и дана полная картина разрешимости краевой задачи Римана для одной неизвестной кусочно-мероморфной функции в случае сложного контура на замкнутой ориентируемой римановой поверхности. В связи с этим дается новый вариант решения проблемы обращения Якоби.

В §§ 7, 8 рассматривается случай римановых поверхностей алгебраических функций, подробнее изучается гиперэллиптический случай и даются приложения. § 9 посвящен краевым задачам на римановых поверхностях с краем. Излагаются идеи методов перехода к дублю и склеивания. В § 10 дан обзор результатов по краевой задаче Гильберта для многосвязной области и приведены некоторые новые результаты автора.

В § 11 дается обзор работ, посвященных излагаемой тематике, но не нашедших отражения в основной части статьи.