К вопросу численного моделирования начальных задач

Abstract

In this paper we propose an approach to numerical modeling of initial value problems, oriented to the development of approximate methods of variable order and step size. This approach is characterized by the constructive connection between the local error estimation technique and the algorithm of consecutive increase of the order of exactness. The approach is based on the notions of the local derivative of approximate solution and the differential residual (for both the exact solution on approximate problem and the approximate solution on original differential problem). A way of mathematical description of the local error arising from the replacement of the original evolutionary equation by the approximating one is given. Different options for representation of an initial value problem describing the local error of a corresponding numerical method are considered. A form of such Cauchy problem with constructive representation of main part of the error of method and its derivative, based on a posteriori information about the sought solution, is proposed. Local refi nement sequences for the approximate solution of Cauchy problems are constructed and investigated. They include techniques that allow to increase the order of exactness by two on each refi nement stage. = Предлагается способ численного моделирования начальных задач, ориентированный на разработку приближенных методов переменного порядка и шага. Отличительной чертой этого способа является конструктивная связь приемов оценки локальной погрешности метода и алгоритма последовательного повышения его порядка точности. В основе способа лежат понятия локальной производной приближенного решения, задаваемого избранным методом, и дифференциальной невязки (как точного решения исходной задачи на моделирующей, так и приближенного на исходной дифференциальной). Дан способ математического описания локальной погрешности замены исходного эволюционного уравнения его аппроксимирующим. Рассмотрены различные варианты представления начальной задачи для локальной погрешности соответствующего метода приближенного решения. Предложены формы задания такой задачи с конструктивным выделением главной части (на шаге дискретизации) погрешности метода и ее производной, базирующиеся на апостериорной информации о моделирующем решении. Построены и исследованы варианты последовательностей локального уточнения приближенного решения исходной задачи Коши, в том числе позволяющих поднимать на два порядка точность приближения на одном этапе уточнения.