Метод энергетических неравенств в исследовании дифференциально-операторных уравнений, уравнений с частными производными и уравнений математической физики : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель Н. И. Юрчук

Abstract

Объектами исследования являются: а) смешанная задача для гиперболического уравнения второго порядка в верхней полуполосе плоскости при зависящих от времени первых косых производных в краевых условиях; б) гиперболические дифференциально-операторные уравнения чётных порядков с переменными областями определения операторов при нелокальных по времени краевых условиях; в) абстрактная задача Коши для гиперболических дифференциально-операторных уравнений второго порядка с переменными областями определения разрывных операторов; г) смешанная задача для уравнения колебаний ограниченной струны общего вида с зависящими от времени нехарактеристическими косыми производными в краевых условиях; д) смешанная задача для уравнения колебаний ограниченной струны с зависящими от времени характеристическими косыми производными в краевых условиях. Цель НИР – разработать метод энергетических неравенств для исследования корректной везде разрешимости новых смешанных (начально-краевых) задач для нестационарных дифференциально-операторных уравнений, уравнений с частными производными и уравнений математической физики, а также методы явного аналитического решения и изучения более сложных смешанных задач для нестационарных уравнений математической физики. Основные результаты исследований: - получено энергетическое неравенство для классических решений смешанной задачи для гиперболического уравнения второго порядка в верхней полуполосе плоскости при зависящих от времени характеристических первых косых производных в краевых условиях; - получены энергетическое неравенство и достаточные условия на операторы для корректной везде разрешимости во множестве сильных решений краевых задач для гиперболических дифференциально-операторных уравнений высших четных порядков с зависящими от времени областями определения операторов при нелокальных по времени краевых условиях; - разработан новый метод склейки глобальных слабых решений из локальных слабых решений абстрактной задачи Коши для гиперболического дифференциально-операторного уравнения второго порядка с зависящими от времени областями определения разрывных по времени неограниченных операторных коэффициентов, впервые для слабых решений выведено энергетическое неравенство и доказана корректная везде разрешимость этой задачи Коши, техника вывода энергетических неравенств для слабых решений является принципиально новой; - получены в явном аналитическом виде рекуррентные формулы классических решений смешанной задачи для неоднородного уравнения колебаний ограниченной струны общего вида с зависящими от времени нехарактеристическими первыми косыми производными в краевых условиях, установлены необходимые и достаточные требования гладкости и условия согласования на правую часть уравнения, начальные и граничные данные для существования и единственности классических решений этой задачи; такие явные рекуррентные формулы решений и общие необходимые и достаточные условия корректности этой задачи ранее не были известны; - построено единственное классическое решение смешанной задачи для однородного уравнения колебаний струны при характеристической первой косой производной в однородном краевом условии на левом конце струны и однородном краевом условии первого рода на правом конце струны, указаны достаточные требования гладкости и условия согласования на начальные данные для его существования и единственности.