Спектрально-разностные методы и алгоритмы цифровой обработки сигналов для решения задач математической физики : отчет о научно-исследовательской работе (заключительный) / БГУ ; научный руководитель В. М. Волков

Abstract

Объектом исследования являются математические модели в виде дифференциальных и интегральных уравнений. Цель работы — разработка методов построения дискретных спектрально-разностных моделей дифференциальных задач, обеспечивающих согласованность амплитудно-фазовых характеристик при отсутствии достаточной гладкости входных данных и решения задачи. Методы исследования: методы теории разностных схем, методы дробных шагов, спектральные методы. Основные результаты исследований: Разработана методика оценки спектральной согласованности и оптимизации параметров компактных разностных схем на основе методов цифровой обработки сигналов для волновых уравнений шредингеровского типа. Построены и изучены разностные схемы и итерационные методы BiCG-типа со спектрально-оптимальным переобуславливателем Фурье-Якоби для трехмерных задач анизотропной диффузии слоистых сред. Разработаны методы приближенного решения сингулярных интегральных урвнений, основанные на квазиспектральных соотношениях и представлении интеграла в виде разложения по полиномам Чебышева. Показана эффективность развитого подхода для сингулярных интегральных уравнений с ядром Коши, степенно-логарифмической особенностью и правой частью специального вида. Построены схемы четвертого порядка точности для нестационарных уравнений Шредингера в цилиндрической системе координат с использованием полиномиальной апроксимации решения в окрестности сингулярности дифференциального оператора. Построены схемы дробных шагов на основе приближенной факторизации матричной экспоненты для решения нестацианарных уравнений Шредингера. Получены оценки скорости сходимости и исследована спектральная согласованность данных схем, на основе чего показаны преимущества аддитивно усредненной схемы. Построены и изучены спектральные методы на основе полиномов Чебышева для двухточечных краевых задач, описывающих встречное взаимодействие оптических волн в нелинейных и периодических средах. Построены псевдоконсервативные итерационные методы, которые в пределе спектральной точности удовлетворяют закону сохранения мощности излучения и в ряде практически значимых случаев обеспечивают лучшую сходимость по сравнению с методом Ньютона. Построены и изучены новые интерполяционные формулы ньютонова типа с двукратными узлами, содержащие первые вариационные производные интерполируемого функционала, интерполяционные формулы эрмитова типа с узлами второй кратности для нелинейных обыкновенных дифференциальных операторов произвольного порядка, заданных в пространстве непрерывно дифференцируемых функций; интерполяционные формулы типа Эрмита и аналоги интерполяционных сплайнов для функций матричных аргументов на множествах матриц с обычным, йордановым, адамаровым умножением и умножением по Фробениусу.