Алгебра и аналитическая геометрия: в 2-х частях, часть 2

Abstract

Данная книга является второй частью учебного пособия «Алгебра и аналитическая геометрия». Первая часть (авторы – М. В. Милованов, Р. И. Тышкевич, А. С. Феденко) была издана в 1984 г. Книга начинается с третьего раздела – «Теория линейных пространств». Изложение основных тем линейной алгебры проводится в строгом соответствии с программой. При изучении линейных операторов широко используется их матричная запись, что приводит к сокра-щению доказательств и позволяет использовать теорию систем линейных уравнений. Несколько полнее обычного трактуется вопрос о нормальных формах матриц. Поскольку жорданова нормальная форма не всегда сущест-вует, наряду с ней рассматривается фробениусова нормальная форма, существующая при любом основном поле. Билинейная и квадратичная формы определяются как соответствующие многочлены. В главе «Евклидовы и унитарные пространства» подчеркнута тесная связь билинейных форм с билинейными функциями. В главе «Линейные операторы евклидовых и унитарных пространств» подробные доказательства всех утверждений даны только для случая евклидова пространства, а в случае унитарного пространства отмечены лишь особенности этих доказательств. В четвертом разделе — «Геометрия n-мерного пространства» — наиболее ярко проявляются идеи, положенные в основу пособия, а именно: при изучении всех основных вопросов используются понятия и методы, описанные в первых трех разделах. По существу, рассматривая аффинные и проективные пространства, мы продолжаем изучать линейные пространства с несколько иной, геометрической точки зрения. То же относится и к евклидовым линейным и точечным пространствам. Системы линейных уравнений истолковываются в аффинном пространстве полнее, чем в линейном. Теория квадрик является естественным обобщением и завершением теории фигур второго порядка. В то же время она служит геометрической интерпретацией теории квадратичных форм. Последняя глава книги посвящена тензорам. Из различных возможных определений тензора выбрано наиболее простое. На его основе естественно описываются тензоры, встречающиеся в этой книге. Рассматриваются основные операции над ними.