Сравнение норм рациональных функций в пространствах Блоха и Каратеодори–Фейера

Abstract

Функция $f$, аналитическая в круге $\vert z\vert<1$, принадлежит пространству Блоха $(f\in\mathscr B)$, если $\Vert f\Vert _{\mathscr B}=\sup_{\vert z\vert<1}\vert(zf(z))'\vert(1-\vert z\vert^2)<\infty$. Далее, $f$ принадлежит классу Каратеодори–Фейера ($f\in CF$), если $f$ принадлежит классу Харди $H_2$ и конечна норма

$\displaystyle \Vert f\Vert _{CF}=\sup\{\Vert f(\xi)-\overline{\xi g(\xi)}\Vert _{L_{\infty}(T)}:g\in H_2\}, $

где $T$ – окружность $\vert z\vert=1$.

В работе показано, что если $R$ – рациональная функция степени не выше $n$ ($n=0,1,2,\dots$) и все ее полюсы лежат вне круга $\vert z\vert\le1$, то

$\displaystyle \Vert f\Vert _{CF}\le c\sqrt{\ln(n+2)}\,\Vert R\Vert _{\mathscr B}, $

где $c>0$ – абсолютная постоянная.