Наилучшие равномерные рациональные приближения функций посредством ортопроекций

Abstract

Пусть $C[-1,1]$ – банахово пространство непрерывных комплексных функций $f$ на отрезке $[-1,1]$, наделенных стандартной максимум-нормой $\Vert f\Vert$; $\omega(\,\cdot\,)=\omega(\,\cdot\,,f)$ – модуль непрерывности $f$; $R_n=R_n(f)$ – наилучшее равномерное приближение $f$ посредством рациональных функций (р.ф.) степени не выше $n=1,2,\dots$ . Пространство $C[-1,1]$ рассматривается так же, как предгильбертово относительно скалярного произведения $(f,g)=(1/\pi)\int^1_{-1}f(x)\overline{g(x)}(1-x^2)^{-1/2}\,dx$. Пусть $\mathbf z_n=\{z_1,z_2,\dots,z_n\}$ – набор точек, лежащих вне отрезка $[-1,1]$. Через $\mathscr F(\,\cdot\,,f,\mathbf z_n)$ обозначим ортопроектор, действующий из предгильбертова пространства $C[-1,1]$ в его $(n+1)$-мерное подпространство, состоящее из р.ф., полюсами которых (с учетом кратности) могут быть лишь точки набора $\mathbf z_n$. В работе показано, что если $f$ не является р.ф. степени $\leqslant n$, то можно указать набор точек $\mathbf z_n=\mathbf z_n(f)$ такой, что

$\displaystyle \Vert f(\,\cdot\,)-\mathscr F(\,\cdot\,,f,\mathbf z_n)\Vert \leqslant 12R_n\ln\frac3{\omega^{-1}(R_n/3)}. $