Оценки производных рациональных функций в Lp[-1,1]

Abstract

Пусть полюсы рациональной функции $r$ степени $n$ $(n\geqslant1)$ лежат вне отрезка $[-1,1]$. Показано, что если $s$ натуральное, $1<p\leqslant\infty$ и $\sigma=(s+p^{-1})^{-1}$, то

$\displaystyle \biggl(\int^1_{-1}\vert r^{(s)}(x)\vert^\sigma\,dx\biggr)^{1/\sigma}\leqslant cn^s\biggl(\int^1_{-1}\vert r(x)\vert^p\,dx\biggr)^{1/p}, $

где $c>0$, и зависит лишь от $s$ и $p$. Даются также приложения этого неравенства к доказательству одной обратной теоремы рациональной аппроксимации и изучению связи между наилучшими рациональными и кусочно-полиномиальными приближениями