Равномерные приближения функций Стилтьеса посредством ортопроекции на множество рациональных функций

Abstract

Пусть $\mu$ — положительная борелевская мера с носителем $\operatorname{supp}\mu\subset[1,\infty)$ и удовлетворяющая условию $\int(t-1)^{-1}d\mu(t)<\infty$. В работе изучается порядок равномерной аппроксимации функции

$\displaystyle \widehat\mu=\int\frac{d\mu(t)}{t-z},\qquad z\in\mathbb{C}, $

в круге $\vert z\vert\le1$ и на отрезке $[-1,1]$ посредством ортопроекции $\widehat\mu$ на множество рациональных функций степени $n$. При этом полюсы рациональных функций выбираются в зависимости от меры $\mu$. Например, показано, что если $\operatorname{supp}\mu$ компактен и не содержит 1, то такой метод аппроксимации имеет порядок наилучшей. Если же $\operatorname{supp}\mu=[1,a]$, $a>1$, мера $\mu$ абсолютно непрерывна относительно меры Лебега и $\mu'(t)\asymp(t-1)^\alpha $ при $t\in[1,a]$ и некотором $\alpha>0$, то порядок такой аппроксимации отличается от наилучшей разве лишь на $\sqrt n$.