Наилучшие равномерные рациональные приближения функций Маркова

Abstract

Пусть $K$ – отрезок $I=[-1,1]$ или круг $\Delta=\{z:\vert z\vert\leq 1\}$. Для функции $f\in C(K)$ через $R_n(f,K)$ обозначим наилучшее равномерное приближение $f$ посредством рациональных функций степени не выше $n$. В работе изучается порядок $R_n(f,K)$ для функций Маркова; т.е. функций вида

$\displaystyle \hat\mu(x)=\int\frac{d\mu(t)}{t-z},\quad z\in\mathbb{C}, $

где $\mu$ – положительная борелевская мера, носитель которой компактен и принадлежит $\mathbb{R}$. Приведем один из результатов. Пусть $\alpha>0$, $a>1$, $\operatorname{supp}\mu=[1,a]$, $d\mu(t)=\varphi(t)\,dt$ и $\varphi(t)\asymp(t-1)^\alpha$. Тогда при $n=0,1,2\dots$

$\displaystyle R_n(\hat\mu,I)\asymp\exp(-2\pi\sqrt{\alpha n}),\quad R_n(\hat\mu,\Delta)\asymp\exp(-\pi\sqrt{2\alpha n}). $

Оценки снизу в этих соотношениях были получены ранее Андерссоном.