А. А. Пекарский, Неравенства типа Бернштейна для производных рациональных функций в пространствах Lp, 0<p<1, на кривых Лаврентьева

Abstract

Пусть $S$ – простая или замкнутая кривая М. А. Лаврентьева в комплексной плоскости, $0<p<1$, причем $1/p\notin\mathbb{N}$ и $s\in\mathbb{N}$. Показано, что для любой рациональной функции $r$ степени $n$, для которой $\vert r\vert^p$ суммируема на $S$, выполняется неравенство

$\displaystyle \biggl(\int_S\vert r^{(s)}(z)\vert^\sigma\vert dz\vert\biggr)^{1/\sigma}\leq cn^s\biggl(\int_S\vert r(z)\vert^p\vert dz\vert\biggr)^{1/p}, $

где $1/\sigma=s+1/p$, а $c>0$ зависит лишь от $S$, $p$, $s$.

Ранее (1995 г.) этот результат был получен автором и Г. Шталем для отрезка и окружности. Данное неравенство применяется для доказательства обратной теоремы рациональной аппроксимации в пространстве В. И. Смирнова $E_p$. В работах рассматриваются также другие задачи рациональной аппроксимации в пространствах $L_p$ и $E_p$.

рациональные функции, неравенства типа Бернштейна, пространства Смирнова.