Оценки производной интеграла типа Коши с мероморфной плотностью и их приложения

Abstract

Пусть $\Gamma$ – простая замкнутая спрямляемая кривая, а $\Gamma^+$ и $\Gamma^-$ – ограниченная и неограниченная области соответственно с границей $\Gamma$. В работе получены оценки производной интеграла типа Коши $(K^-_\Gamma f)(z)=(2\pi i)^{-1}\int_\Gamma f(\xi)(\xi-z)^{-1}\,d\xi$, $z\in\Gamma\cup\Gamma^-$ при условии, что его плотность $f(\xi)=g(\xi)+r(\xi)$ и $\Vert f\Vert _{L_p(\Gamma)}\leqslant1$, $p=1$ или $\infty$, где $r(\xi)$ – рациональная функция, полюсами которой могут быть (с учетом кратности) лишь некоторые фиксированные числа из $\Gamma^+$, a $g(\xi)$ есть граничное значение функции $g(z)$ класса Смирнова $E_p(\Gamma^+)$. С помощью этих оценок находятся нормы проекторов, порожденных рациональными функциями, и доказываются две обратные теоремы рациональной аппроксимации.