Смешивание параметризованных кривых на матричной группе Ли

Abstract

The paper presents an approach to blending parametric curves on a matrix Lie group. Special polynomials are introduced for blending. The polynomials satisfy special boundary conditions which ensure the necessary continuity of the blending parametric curve at the boundary points with the blended parametric curves. A representation of the polynomials by means of Bernstein polynomials is proposed. Using this representation the polynomials can be considered as Bézier curves defi ned by special sequences of points on the real line. The presented approach to curve blending can be used for construction of spline curves on smooth manifolds be means of Lie group action on the smooth manifold. In this case one-parameter subgroups of the Lie group can be used as blended parametric curves. It is supposed that the presented approach can be used for construction of spline curves by blending one-parameter rotations acting on a sphere. = В статье рассмотрен подход к смешиванию параметризованных кривых на матричной группе Ли. Под смешиванием кривых понимается гладкое преобразование одной кривой к другой. Если смешивание зависит от одного параметра, то в результате получаем новую кривую, которая в геометрических приложениях называется смешением двух заданных кривых. Смешивание параметризованных кривых на матричной группе Ли выполняется при помощи специального класса полиномов, которые удовлетворяют заданным граничным условиям. Выполнение этих условий обеспечивает нужную степень непрерывности граничных условий, которым должно удовлетворять смешивание. Рассмотренный подход к смешиванию параметризованных кривых на группе Ли может применяться для построения сплайн-кривых на гладких многообразиях посредством действия на них группы Ли.